Ежеквартальный журнал Российской ассоциации содействия ООН

Поиск по статьям:

Математика футбольного мяча

2018-07-09 15:13:46, Рубрики: ФИЛАТЕЛИЯ.РУ, ДНЕВНИК ЧЕМПИОНАТА МИРА

Это лето проходит в России под знаком футбольного мяча. Казалось бы, мяч — предмет круглый, что еще о нем сказать? Но реальность не так проста, как кажется, и на то, чтобы повысить «сферообразность» футбольного мяча, производителям пришлось немало потрудиться. И вот уже шестой год мяч официальных турниров ФИФА — куб. Почему это так, по просьбе «Чердака» рассказывает математик Николай Андреев, создатель проекта «Математические этюды».
 

 
Классика
 
Поверхность классического футбольного мяча состоит из слегка искривленных 12 правильных пятиугольников черного цвета и 20 правильных белых шестиугольников.
 

 
«Классическим» такой мяч был не всегда: впервые такие покрой и раскраска были использованы для официального мяча на чемпионате мира в 1970 году в Мексике. Черно-белая раскраска тогда была выбрана из соображений контрастности, чтобы мяч был лучше виден на экранах преобладавших в то время черно-белых телевизоров. Да и само название — Telstar — он получил в честь телевизионного спутника. В последующие годы раскраска официальных мячей менялась, но покрой оставался неизменным вплоть до чемпионата 2002 года.
 

 
С точки зрения математики классический футбольный мяч является усеченным икосаэдром.
 
Икосаэдр — один из пяти правильных многогранников. Его название происходит от древнегреческих слов «двадцать» и «основание». У икосаэдра 12 вершин, 20 граней — правильных треугольников, 30 ребер.
 

 
 
Если срезать вершины икосаэдра, отступив от вершин так, чтобы оставшиеся части граней были правильными шестиугольниками, то срезы будут правильными пятиугольниками. Это усеченный икосаэдр — один из полуправильных многогранников: все грани — правильные многоугольники нескольких разных типов, все вершины устроены «одинаково», т.е.многогранные углы при вершинах равны.
 
Итак, классический футбольный мяч — усеченный икосаэдр. Добавим еще немного математики — теорию групп, порожденных отражениями, — и сделаем простую в изготовлении, но красивую модель, которую можно продемонстрировать друзьям.
 

 
Для модели понадобятся три треугольных зеркала указанных размеров, изолента (скотч) для их скрепления, а также раскрашенный в два цвета равносторонний треугольник. Затратив немного времени на склеивание зеркального трехгранного угла, вы получите возможность, вложив в него раскрашенный треугольник, увидеть модель классического футбольного мяча! При покачивании модели относительно оси зрения картинка меняться не будет.
 
Зеркальные равнобедренные треугольники проще всего вырезать из пластика с зеркальным напылением. Если у вас нет возможности сделать модель, можете посмотреть видео «Математических этюдов».
 
Что же это за такой магический зеркальный угол, в котором при отражениях виден футбольный мяч? (А на самом деле — икосаэдр, который виден еще более явно, если вложить в модель одноцветный треугольник.)
 

 
Зеркальный угол связан с самим икосаэдром: его вершина расположена в центре фигуры, а зеркала проходят через стороны одной из граней. Отсюда получаются и условия на стороны равнобедренных треугольников, образующих зеркальный угол. А то, что картинка в таком зеркальном угле будет икосаэдром, гарантирует теория групп, порожденных отражениями.
 
Современность
 
Как известно, сферу нельзя согнуть из плоской развертки. Это запрещает сделать математика — теорема о том, что важная характеристика поверхности, называемая гауссовой кривизной, не меняется при изгибании без растяжений.
 
Гауссова кривизна отражает внутреннюю геометрию поверхности и не меняется при ее изгибании. Например, у плоскости гауссова кривизна равна нулю. У цилиндра и конуса, которые можно свернуть из плоского листа бумаги, — тоже ноль.
 
А вот у сферы гауссова кривизна положительна. Значит, сделать сферу из плоских панелей (развертки) — невозможно. И наоборот, развернуть сферу на плоскость без искажений тоже нельзя, и все плоские карты Земли — неточны.
 
Поэтому какую модель мяча ни взять, ее необходимо «раздувать». А можно ли придумать модель мяча, состоящую из плоских панелей, но изначально более близкую к сфере, чем классическая? (Понятно, что можно взять многогранник с большим числом граней и вершин, но тогда усложнится процесс изготовления.)
 
После 2002 года начались эксперименты, и в 2014 году на чемпионате мира в Бразилии состоялась премьера нового официального мяча, получившего название Brazuca.
 
Модель этого мяча действительно более «сфероподобна», чем классическая. Но при этом Brazuca — это куб!
 

 
Как и куб, она собирается из шести одинаковых плоских панелей, имеющих по четыре угла. У нее восемь вершин, в каждой из которых сходится по три панели.
 
Придуманные фирмой Adidas панели действительно можно склеить в выпуклую поверхность. Успех гарантирует выполнение условий теоремы российского академика (и автора школьного учебника по геометрии) Александра Даниловича Александрова: сумма углов панелей в вершинах не превосходит 360 градусов, длины «сторон» панелей между углами совпадают, а сумма кривизн границ в точках склейки неотрицательна.
 
В модели классического мяча вся кривизна сосредоточена в конечном числе «выступающих» вершин. Все четыре угла панели Brazuca равны 120 градусам. Соответственно, когда в вершинах модели встречаются три угла, сумма углов вокруг вершины равна 360 градусам: поверхность мяча вокруг вершины будет «плоской».
 

 
Но куда же делась кривизна? Ведь сфера является поверхностью постоянно положительной кривизны и кривизна должна быть! В модели бразуки кривизна «размазана» по длинным ребрам — из-за этого модель становится существенно более близкой к сфере, чем модель классического мяча.
 

 
Официальный мяч нашего чемпионата 2018 года — тоже куб. В описанном смысле. Только, в отличие от предыдущей модели, панели имеют не кривые границы, а являются одинаковыми плоскими многоугольниками. 
 
Источник: chrdk.ru
 
Изображения: Николай Андреев, «Математические этюды»
 
Фото: открытые источники и  fifg и Beto Chagas / Фотодом / Shutterstock


Комментировать статью:
Имя:
Комментарий:
Защитный код:



  • Венский храм святителя Николая в филателии и филокартии
  • Мариза Хилз. Женщина-легенда
  • Из жизни отдыхающих
  • Художники на марках. Почему так, а не иначе?
  • Достижения Викторианской эпохи
  • Велосипедная неделя в марках
  • Истории с провенансом. Марки для музыкантов
  • Королева Британской Империи
  • Цветочное шоу - на марках и в саду
  • Ювелир Его Императорского Величества
  • Знаменитые брюнетки на почтовых марках
  • Необычное путешествие конвертов
  • Марки со странностями и курьезами
  • Марки, которых не было
  • Истории с провенансом. Филателист-зоолог
  • Жизнелюбие и образ советского человека
  • Как филателия помогла разоблачить военных преступников
  • От рекламы Kodak до детского журнала
  • Пришли мне бумаги почтовой, вина и сыру
  • Дом с садом за прививку
  • Великая леди аэрофилателии
  • Подвиг ваш бессмертен
  • День радио
  • Мы - Молодая гвардия рабочих и крестьян!
  • Покровители филателии
  • Итоги юбилейного аукциона
  • Коллекция для родителей
  • От сына шахтера до придворного гравера
  • «Советский Союз»: что осталось «за кадром»? Часть II
  • «Советский Союз»: что осталось «за кадром»?
  • Кто пополнил Список выдающихся филателистов
  • Notre-Dame de Paris. Внеси свой вклад в реконструкцию
  • История с провенансом. Выставка женских работ
  • Космические «целинники»
  • Огненное небо над Парижем
  • Через коллекцию я познаю мир
  • Эра космических открытий
  • Почтовая марка Пермского уезда
  • К истории «спартакиадной» серии. Окончание
  • Супергерои в филателии
  • Благоверная жена филателиста
  • Любимая женщина Юлия и Марка
  • Тем, кто любит погорячее
  • История «спартакиадной» серии. Часть II
  • Истории с провенансом. Жил-был художник один
  • Уникумы с рубля
  • Почему Спартак не пошел на Олимп? К истории «спартакиадной» серии
  • Джаз и рафинад чешских почтовых марок
  • Дом Аэрофлота. Часть II
  • Дом Аэрофлота. История и метаморфозы
  • История с провенансом. Заслуженный филателист Великобритании
  • Приглашает «Варшавка»
  • Как Иран входил в советскую филателию. Часть II
  • Охота на львов: как Иран входил в советскую филателию
  • Антон Макаренко. Воспитание сердцем
  • Борис Кисин. Возвращение
  • Страны-призраки
  • Марки-призраки
  • «Коллекции России». Итоговая точка
  • Русские забавы. Масленица
  • Возвращение нашего Беринга
  • Без кота и жизнь не та
  • Наши соседи, белые медведи
  • Самсон Гамлетович, Мямлик и кот манул
  • История с провенансом. Гиганты филателии: Альфред Лихтенштейн
  • Сергей Филатов: Наша цель - возродить былые традиции
  • Порт пяти морей, или Тайны канала Волга-Москва
  • Жизнь Гренландии во время войны
  • Латвия. Лучшая марка 2018 года
  • Salon de Mai. Совместная реальность
  • Повод для подарков
  • Дом-оборотень. Расставим точки над «и»
  • Дом-оборотень попал в каталог
  • Менделеев. Тайна гениальности
  • Литература в марках: Жюль Верн
  • Памятная марка малой Родины
  • «Космонавт N…». История одной марки
  • Марки из вашей коллекции
  • Прогулка по Тверской. Филателистическая история. Продолжение
  • Прогулка по Тверской, или О чем рассказала одна почтовая марка
  • Иудаика в филателии Молдовы
  • Цены "УРА В КОСМОС"
  • Нарцисс. Трагедия любви
  • За давностью лет
  • От царского штемпеля - до советского
  • ТОП-10 самых выдающихся марок Канады
  • Такси на почтовых марках
  • Вторая мировая: блокада Ленинграда
  • В Москву пришло метро! О чем рассказали марки 1935 года. Часть II
  • В Москву пришло метро! О чем рассказали марки 1935 года
  • Истории с провенансом. Пять писем для семьи Рамсей
  • Эрос и Психея. Вечная любовь
  • Марки - это о том, что мы живем...
  • Гайдар шагает впереди!
  • ТОП-10. Самые эффектные марки 2018 года
  • Судьба коллекции в руках коллекционера
  • Певцы и марки
  • Португальские сладости - фасоль, с горькой ноткой миндаля
  • Как оформляют свои собрания марок
  • Как остановить фальшивки?
  • Он - не читатель, он - писатель
  • Любовь на почтовых марках
  • Cамая красивая марка SEPAC 2018
  • Как собирать Россию?
  • История рождественской открытки: ангелы и Дед-Мороз в космосе
  • Лучшая марка Кыргызстана 2018 года
  • Башни с часами
  • Ожившая история
  • Рождественское перемирие
  • «Перекоп» в филателии
  • Как в прошлом веке поздравляли друг друга с Рождеством
  • Рождественская карточка: мать новогодней открытки
  • Магазин почтовых марок
  • Лучшая марка 2018 года
  • Хроники Нарнии. Взрослые тоже читают сказки
  • Ульяновск поздравляет с Новым годом
  • Будут ли публично сжигать марки?
  • Визитная карточка Монголии
  • Время чудес и акций
  • Филокартия от Гиппократа
  • Американская история с провенансом
  • Зачем нужны рождественские марки
  • Дед Мороз к нам мчится, скоро все случится
  • До чего дошел прогресс - до невиданных чудес
  • Марки ценой в баранов и верблюдов. Часть II
  • Филателистический вальс
  • Марки ценой в баранов и верблюдов
  • От «марки Кохера» до компьютерной графики
  • Реклама - двигатель филателии
  • С пинцетом и лупой
  • Гиганты неба. Куда улетела «ленинская эскадра»
  • Почему Медный всадник смотрит в другую сторону
  • В одном ряду с Пушкиным
  • 100 лет тому назад
  • Истории с провенансом. Председатель Совета надзирателей
  • Владимир Лязгин: Мне было бы скучно, если бы в моей жизни не было марок
  • Гиганты неба. «5 в 4», или Энтузиазм в «экспортном варианте»
  • Дмитрий Зимин: Мной движет чувство долга
  • «Обрезание» снижает цену
  • Хранители марок
  • День победы филателии
  • Гиганты неба. Курс на Арктику
  • Под крылом пеликана
  • Удивительные приключения цеппелина в России
  • Коллекция дедушки, или Судьба марок
  • Приглашаем к обсуждению. Дополнения к плану 2019 года
  • Билет в один конец
  • Гиганты неба: история отечественного дирижаблестроения в советских почтовых марках
  • Мосты-победители
  • Маленькие картинки с историей